从傅里叶级数到傅里叶变换:详细的数学推导

正交函数系

对于两个实值函数 $f, g \in \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$,定义函数的内积为: $$\langle f, g \rangle = \int_a^b f(x)g(x) dx .$$ 如果 $\langle f, g \rangle = 0$,则称 $f, g$ 正交。 函数正交是向量正交的一个扩展,这里的“乘积后求积分”对应向量内积的“乘积后求和”。

假设有函数的集合 $\{f_0, f_1, ..., f_n\}$,其中对于任意 $m\neq n$ 有: $\langle f, g \rangle = 0$,则称该函数集合为“正交函数系”(orthogonal set of functions)。

三角函数集合 \begin{equation} \Big\{\cos 0, \sin 0, \cos 1x, \sin 1x, \cos 2x, \sin 2x, ..., \cos nx, \sin nx, \Big\} \label{orthogonal-set-1} \end{equation} 是正交函数系列。 因为:

  1. 对任意的$m, n$ \begin{equation} \begin{split} &\int_{-\pi}^{+\pi} \cos mx \cdot \sin nx \ dx \\ =& \int_{-\pi}^{+\pi} \frac{\sin (m+n)x - \sin (m-n)x}{2} dx \\ =& 0 \end{split}\label{orthogonal-1} \end{equation}
  2. 对任意的$m \neq n$ \begin{equation} \begin{split} &\int_{-\pi}^{+\pi} \cos mx \cdot \cos nx \ dx \\ =& \int_{-\pi}^{+\pi} \frac{\cos (m+n)x + \cos (m-n)x}{2} dx \\ =& 0 \end{split}\label{orthogonal-2} \end{equation} 以及 \begin{equation} \begin{split} &\int_{-\pi}^{+\pi} \sin mx \cdot \sin nx \ dx \\ =& \int_{-\pi}^{+\pi} \frac{\cos (m-n)x - \cos (m+n)x}{2} dx \\ =& 0 \end{split}\label{orthogonal-3} \end{equation}

将 公式$\ref{orthogonal-set-1}$ 中的 $\sin 0x = 0$ 去掉,得到正交的三角函数系: \begin{equation} \Big\{1, \cos 1x, \sin 1x, \cos 2x, \sin 2x, ..., \cos nx, \sin nx, \Big\} \label{orthogonal-set} \end{equation}

傅里叶级数展开

周期为 $2\pi$ 函数的傅里叶级数展开

对任意一个周期为 $2\pi$ 的函数 $f_{2\pi}(x) = f(x+2\pi)$ 都可以展开为 公式$\ref{orthogonal-set}$ 中三角函数的 线性组合。 $$ \begin{equation} f_{2\pi}(x) = \frac{1}{2}a_0 + \sum_{n=1}^{+\infty} a_n\cos nx + \sum_{n=1}^{+\infty} b_n\sin nx \label{fourier-series} \end{equation} $$ 公式$\ref{fourier-series}$ 称为周期函数的傅里叶级数, 其中$a_0, a_1, ..., a_n$ 为不同三角函数的系数。 同样的,这也类比于向量空间中,任意一个向量都可以由一组正交基底的线性求和表示。 例如,在二维空间中,任意向量 $v$ 都可以用一对正交向量 $a=(0,1), b=(1,0)$ 表示: $$v = a\cdot i + b\cdot j$$

下面求 公式$\ref{fourier-series}$ 中的系数。

  1. 对于 $a_0$,对 公式$\ref{fourier-series}$ 两边在 $-\pi. \pi$ 区间求积分: \begin{equation*} \begin{split} \int_{-\pi}^{\pi} f_{2\pi}(x) dx &= \int_{-\pi}^{\pi} \frac{1}{2}a_0 dx + \int_{-\pi}^{\pi} \sum_{n=1}^{+\infty} a_n\cos nx dx + \int_{-\pi}^{\pi} \sum_{n=1}^{+\infty} b_n\sin nx dx \\ &= \pi a_0 + 0 + 0 \end{split} \end{equation*} 得到 $$ a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f_{2\pi}(x) dx $$
  2. 对于 $a_m$,对 公式$\ref{fourier-series}$ 两边乘以$\cos mx$ 然后再在 $-\pi. \pi$ 区间求积分: \begin{equation} \begin{split} \int_{-\pi}^{\pi} f_{2\pi}(x)\cos mx dx &= \int_{-\pi}^{\pi} \cos mx \frac{1}{2}a_0 dx + \int_{-\pi}^{\pi} \cos mx \sum_{n=1}^{+\infty} a_n\cos nx dx + \int_{-\pi}^{\pi} \cos mx \sum_{n=1}^{+\infty} b_n\sin nx dx \\ &= \frac{1}{2}a_0\int_{-\pi}^{\pi} \cos mx dx + \int_{-\pi}^{\pi} \cos mx \cdot a_m\cos mx dx + 0 \\ &= 0 + \int_{-\pi}^{\pi} a_m \frac{1+\cos 2mx}{2} dx \\ &= a_m\pi \end{split}\label{calculate-a_m} \end{equation} (公式$\ref{calculate-a_m}$ 中的化简利用了公式$\ref{orthogonal-1}\sim\ref{orthogonal-3}$的结论。) 得到 $$ a_m = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \cos (mx) \cdot f_{2\pi}(x) dx $$
  3. 对于 $b_m$,对 公式$\ref{fourier-series}$ 两边乘以$\sin mx$ 然后再在 $-\pi. \pi$ 区间求积分,类似的可以得到: $$ b_m = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \sin (mx) \cdot f_{2\pi}(x) dx $$

整理并重新表述上面的结论: 任意的周期 $T=2\pi$ 的函数 $f_{2\pi}(x)$ 均可以展开为公式 $\ref{fourier-series}$ 形式的三角函数的组合: \begin{equation} \begin{split} & f_{2\pi}(x) = \frac{1}{2}a_0 + \sum_{n=1}^{+\infty} a_n\cos nx + \sum_{n=1}^{+\infty} b_n\sin nx \\ & \begin{cases} a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f_{2\pi}(x) dx \\ a_m = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \cos (mx) \cdot f_{2\pi}(x) dx, \ m = 1, 2, ... \\ b_m = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \sin (mx) \cdot f_{2\pi}(x) dx, \ m = 1, 2, ... \\ \end{cases} \end{split}\label{fourier-series-full} \end{equation}

周期为 $T$ 函数的傅里叶级数展开

现在我们将 公式$\ref{fourier-series-full}$ 拓展到周期为 $T$ 的情况。 这相当于将 公式$\ref{fourier-series-full}$ 中的函数 $f_T(x)$ 沿 $x$ 轴缩放了 $\frac{T}{2\pi}$ 倍,因此只需要用$\frac{2\pi}{T}x$ 代替 公式$\ref{fourier-series-full}$ 中的 $x$ 即可: \begin{equation} \begin{split} & f_T(x) = \frac{1}{2}a_0 + \sum_{n=1}^{+\infty} a_n\cos n\frac{2\pi}{T}x + \sum_{n=1}^{+\infty} b_n\sin n\frac{2\pi}{T}x \\ & \begin{cases} a_0 = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f_T(x) dx \\ a_m = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} \cos (m\frac{2\pi}{T}x) \cdot f_T(x) dx, \ m = 1, 2, ... \\ b_m = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} \sin (m\frac{2\pi}{T}t) \cdot f_T(x) dx, \ m = 1, 2, ... \\ \end{cases} \end{split}\label{fourier-series-full-T1} \end{equation}

工程上一般用$\omega = \frac{2\pi}{T}$ 表示频率,将 $\omega$ 带入 公式$\ref{fourier-series-full-T1}$: \begin{equation} \begin{split} & f_T(x) = \frac{1}{2}a_0 + \sum_{n=1}^{+\infty} a_n\cos n\omega x + \sum_{n=1}^{+\infty} b_n\sin n\omega x \\ & \begin{cases} a_0 = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f_T(x) dx \\ a_m = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} \cos (m\omega x) \cdot f_T(x) dx, \ m = 1, 2, ... \\ b_m = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} \sin (m\omega x) \cdot f_T(x) dx, \ m = 1, 2, ... \\ \end{cases} \end{split}\label{fourier-series-full-T2} \end{equation}

到这里,连续周期函数的傅里叶级数就推导完成了。简而言之,任意周期为 $T$ 的实值函数 $f_T(x)$ 都可以展开为 公式$\ref{fourier-series-full-T2}$ 中正弦/余弦函数相加的形式,各正弦分量的系数 $a_0,...,a_n, b_1,...,b_n$可以通过 积分运算得到。

傅里叶级数的复数形式

理论上讲,公式$\ref{fourier-series-full-T2}$ 所描述的傅里叶级数展开已经比较完备,但是形式上不是很统一。 因为等号右边既有余弦函数$\cos n\omega x$ 及其对应系数 $a_1,...,a_n$,又有正弦函数 $\sin n\omega x$ 及其对应系数 $b_1,...,b_n$,而且两种不同的系数计算方式各不相同。 那么有没有一种统一的形式,使得 公式$\ref{fourier-series-full-T2}$ 等号右边只有一种类型的基函数(basis),而且系数能用统一形式计算出来呢?

要回答这个问题,要从欧拉公式开始。

欧拉公式

首先我们介绍欧拉公式: \begin{equation} e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta \label{euler} \end{equation} 由 公式$\ref{euler}$ 可以推出: \begin{equation} \begin{cases} \cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} \\ \sin\theta = \frac{-i (e^{i\theta} - e^{-i\theta})}{2} \end{cases}\label{euler-cos-sin} \end{equation}

通过欧拉公式将傅里叶级数转换到复数域

我们将 公式$\ref{euler-cos-sin}$ 带入到 公式$\ref{fourier-series-full-T2}$,得到: \begin{equation} \begin{split} f_T(x) &= \frac{1}{2}a_0 + \sum_{n=1}^{+\infty} a_n\frac{e^{in\omega x} + e^{-in\omega x}}{2} + \sum_{n=1}^{+\infty} b_n\frac{-i (e^{in\omega x} - e^{-in\omega x})}{2} \\ &= \frac{1}{2}a_0 + \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{2} (a_n-ib_n)e^{in\omega x} + \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{2} (a_n+ib_n)e^{-in\omega x} \\ 第三项中用 -n 代替 n \\ &= \frac{1}{2}a_0 + \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{2}(a_n-ib_n)e^{in\omega x} + \sum_{n=-\infty}^{-1} \frac{1}{2} (a_{-n}+ib_{-n})e^{in\omega x} \\ 改用新的系数符号 c_n \\ &= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{in\omega x} \\ \end{split}\label{fourier-series-euler} \end{equation} 其中 \begin{equation} c_n = \begin{cases} \frac{1}{2} (a_n-ib_n), \ n \gt 0 \\ \frac{1}{2}a_0, \ n = 0 \\ \frac{1}{2} (a_{-n}+ib_{-n}), \ n \lt 0\\ \end{cases}\label{cn-cases} \end{equation}

接下来我们求解 公式$\ref{cn-cases}$ 中不同情况下 $c_n$ 的表达式,最终我们会惊奇的发现,三种情况下 $c_n$ 的表达式是统一的!

  1. 当 $n \gt 0$ 时: \begin{equation} \begin{split} c_n|_{n\gt 0} &= \frac{1}{2} (a_n - ib_n) \\ &= \frac{1}{2} \Big\{ \frac{2}{T}\int_0^T \cos n\omega x \cdot f_T(x) \ dx - i\frac{2}{T}\int_0^T \sin n\omega x \cdot f_T(x) \ dx \Big\} \\ &= \frac{1}{T} \int_0^T \frac{e^{in\omega x} + e^{-in\omega x}}{2} \cdot f_T(x) \ dx - \frac{i}{T} \int_0^T \frac{-i(e^{in\omega x} + e^{-in\omega x})}{2} \cdot f_T(x) \ dx \\ &= \frac{1}{T} \int_0^T \frac{e^{in\omega x} + e^{-in\omega x}}{2} \cdot f_T(x) \ dx - \frac{1}{T} \int_0^T \frac{e^{in\omega x} + e^{-in\omega x}}{2} \cdot f_T(x) \ dx \\ &= \frac{1}{T} \int_0^T e^{-in\omega x} \cdot f_T(x) \ dx \end{split}\label{cn-1} \end{equation}
  2. 当 $n = 0$ 时: \begin{equation} \begin{split} c_n|_{n=0} &= \frac{1}{2} a_0 \\ &= \frac{1}{2} \frac{2}{T} \int_0^T f_T(x) \ dx \\ &= \frac{1}{T} \int_0^T e^{-in\omega x} \cdot f_T(x) \ dx \end{split}\label{cn-2} \end{equation}
  3. 当 $n = 0$ 时,同样有 \begin{equation} c_n|_{n\lt 0} = \frac{1}{T} \int_0^T e^{-in\omega x} \cdot f_T(x) \ dx \label{cn-3} \end{equation} 证明过程这里就省略了,大家可以自己参照 公式$\ref{cn-1}$ 证明一下。

对上面的推导做个总结,那就是:任意一个周期为 $T$ 的实值函数 $f_T(x)$ 都可以展开为以下傅里叶级数: \begin{equation}\begin{split} f_T(x) &= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{in\omega_0 x} \\ 其中 \ \omega_0 &= \frac{2\pi}{T} 称为“基频率” \\ c_n &= \frac{1}{T} \int_0^T e^{-in\omega_0 x} \cdot f_T(x) \ dx \\ \end{split}\label{fourier-series-final}\end{equation}

最终,周期函数 $f_T{x}$ 的傅里叶展开式为: \begin{equation}\begin{split} f_T(x) &= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \frac{1}{T} \int_0^T e^{-in\omega_0 x} \cdot f_T(x) \ dx \cdot e^{in\omega_0 x}。 \end{split}\label{fourier-series-combined}\end{equation}

傅里叶级数到傅里叶变换

我们首先将 公式$\ref{fourier-series-final}$ 的 $c_n$ 带入求和中:

上式中的傅里叶级数展开是针对周期函数的,但是在现实中大多数信号都是非周期的。 对于非周期函数 $f(x)$ 是否也存在 公式$\ref{fourier-series-final}$ 中类似的分解呢?

非周期函数可以看做是周期 $T = +\infty$ 的周期函数。 当 $T=+\infty$时,基频率 $\omega_o = \frac{2\pi}{T}$ 就变成了微分 $d\omega$, 同时求和 $\sum_{-\infty}^{+\infty} n\omega_0$ 就变成了求积分 $\int_{-\infty}^{+\infty} d\omega$。

如果函数 $f(x)$ 是非周期函数,公式$\ref{fourier-series-combined}$ 可以转换为: \begin{equation}\begin{split} f(x) &= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \frac{1}{T} \int_0^T e^{-in\omega_0 x} \cdot f_T(x) \ dx \cdot e^{in\omega_0 x} \\ f(x) &= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \frac{\omega_0}{2\pi} \int_0^T e^{-in\omega_0 x} \cdot f(x) \ dx \cdot e^{in\omega_0 x} \\ 当 T \rightarrow +\infty : \\ f(x) &= \frac{1}{2\pi} \int_{n=-\infty}^{+\infty} \int_0^T e^{-in\omega x} \cdot f(x) \ dx \cdot e^{in\omega x} \ d\omega\\ \end{split}\label{fourier-transform-1}\end{equation}

公式$\ref{fourier-transform-1}$ 中 \begin{equation} F(\omega) = \int_0^T e^{-in\omega x} \cdot f(x) \ dx \label{ft} \end{equation} 称为“傅里叶变换”; \begin{equation} f(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{n=-\infty}^{+\infty} F(\omega) \cdot e^{in\omega x} \ d\omega \label{inverse-ft} \end{equation} 称为“逆傅里叶变换”。


引用

如果本文的内容对你撰写学术论文有帮助,希望能考虑引用:
@misc{zhao2020fourier,
title   = {从傅里叶级数到傅里叶变换:详细的数学推导},
author  = {Kai Zhao},
year    = 2020,
note    = {\url{http://kaizhao.net/posts/fourier}}
}

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