2021-07-21

# 正交函数系

$$\Big\{\cos 0, \cos(\omega_0 x), \sin(\omega_0 x), \cos(2\omega_0 x), \sin(2\omega_0 x), ...,\cos(n\omega_0 x), \sin(n\omega_0 x) \Big\} \label{orthogonal-set-cos-sin}$$

1. 对任意的$m, n$，$\langle \sin(m\omega_0 x), \cos(n\omega_0 x) \rangle = 0$：
$$\begin{split} &\int_{-\pi}^{+\pi} \cos mx \cdot \sin nx \ dx \\ =& \int_{-\pi}^{+\pi} \frac{\sin (m+n)x - \sin (m-n)x}{2} dx \\ =& 0 \end{split}\label{orthogonal-1}$$
2. 对任意的$m \neq n$，$\langle \sin(m\omega_0 x), \sin(n\omega_0 x) \rangle = 0$：
$$\begin{split} &\int_{-\pi}^{+\pi} \sin mx \cdot \sin nx \ dx \\ =& \int_{-\pi}^{+\pi} \frac{\cos (m-n)x - \cos (m+n)x}{2} dx \\ =& 0 \end{split}\label{orthogonal-3}$$
$\langle \cos(m\omega_0 x), \cos(n\omega_0 x) \rangle = 0$:
$$\begin{split} &\int_{-\pi}^{+\pi} \cos mx \cdot \cos nx \ dx \\ =& \int_{-\pi}^{+\pi} \frac{\cos (m+n)x + \cos (m-n)x}{2} dx \\ =& 0 \end{split}\label{orthogonal-2}$$

# 周期函数的傅里叶级数展开

$$$$\begin{split} f_T(x) &= c_0 + \sum_{n=1}^\infty c_n \cos(n\omega_0 x + \varphi_n) \\ &= c_0 + \sum_{n=1}^\infty c_n \cos(n\omega_0 x)\cos(\varphi_n) - c_n\sin(n\omega_0 x)\sin(\varphi_n) \\ \end{split} \label{fourier-series-cos-sin-1}$$$$

$$f_T(x) = a_0 + \sum_{n=1}^{+\infty} a_n\cos(n\omega_0 x) + \sum_{n=1}^{+\infty} b_n\sin(n\omega_0 x) . \label{fourier-series-cos-sin}$$

1. 对于 $a_0$，对 式$\ref{fourier-series-cos-sin}$ 两边在 $-\pi. \pi$ 区间求积分：
\begin{equation*} \begin{split} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f_T(x) dx &= \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} a_0 dx + \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \sum_{n=1}^{+\infty} a_n\cos nx dx + \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \sum_{n=1}^{+\infty} b_n\sin nx dx \\ &= T a_0 + 0 + 0 \end{split} \end{equation*}
得到 $$a_0 = \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f_{T}(x) dx$$
2. 对于 $a_n$，对 式$\ref{fourier-series-cos-sin}$ 两边乘以$\cos(n\omega_0 x)$ 然后再在 $(-\frac{T}{2} \sim -\frac{T}{2})$ 区间求积分：
$$\begin{split} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f_T(x)\cos(n\omega_0 x) dx &= \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \cos(n\omega_0 x) \frac{1}{2}a_0 dx + \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \cos(n\omega_0 x) \sum_{m=1}^{+\infty} a_m\cos(m\omega_0 x) dx + \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \cos(n\omega_0 x) \sum_{m=1}^{+\infty} b_m\sin(m\omega_0 x) \\ &= 0 + a_n\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \cos(n\omega_0 x) \cdot \cos(n\omega_0 x) dx + 0 \\ &= a_n\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \frac{1+\cos(2n\omega_0 x)}{2} dx \\ &= \frac{T}{2} a_n \end{split}\label{calculate-a_m}$$
式$\ref{calculate-a_m}$ 中的化简利用了式$\ref{orthogonal-1}\sim\ref{orthogonal-3}$的结论。 最后我们得到： $$a_n = \frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \cos (n\omega_0 x) \cdot f_T(x) dx$$
3. 类似地，对 式$\ref{fourier-series-cos-sin}$ 两边乘以$\sin(n\omega_0 x)$ 然后再在 $(-\frac{T}{2} \sim -\frac{T}{2})$ 区间求积分，可以得到 $b_n$： $$b_n = \frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \sin (n\omega_0 x) \cdot f_T(x) dx$$

$$\begin{split} c_0 &= a_0 \\ c_n &= \sqrt{a_n^2+b_n^2} \ (\text{可不可以是} -\sqrt{a_n^2+b_n^2} \ \ \text{?})\\ \varphi_n &= \arctan(-\frac{b_n}{a_n}) \\ \end{split}$$

# 傅里叶级数的复数形式

## 通过欧拉公式将傅里叶级数转换到复数域

$$\begin{split} f_T(x) &= \frac{1}{2}a_0 + \sum_{n=1}^{+\infty} a_n\frac{e^{in\omega_0 x} + e^{-in\omega_0 x}}{2} + \sum_{n=1}^{+\infty} b_n\frac{-i (e^{in\omega_0 x} - e^{-in\omega_0 x})}{2} \\ &= \frac{1}{2}a_0 + \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{2} (a_n-ib_n)e^{in\omega_0 x} + \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{2} (a_n+ib_n)e^{-in\omega_0 x} \\ 第三项中用 -n 代替 n \\ &= \frac{1}{2}a_0 + \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{2}(a_n-ib_n)e^{in\omega_0 x} + \sum_{n=-\infty}^{-1} \frac{1}{2} (a_{-n}+ib_{-n})e^{in\omega_0 x} \\ 改用新的系数符号 d_n \\ &= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} d_n e^{in\omega_0 x} \\ \end{split}\label{fourier-series-euler}$$

1. 当 $n \gt 0$ 时：
$$\begin{split} d_n|_{n \gt 0} &= \frac{1}{2} (a_n - ib_n) \\ &= \frac{1}{2} \Big\{ \frac{2}{T}\int_0^T \cos n\omega_0 x \cdot f_T(x) \ dx - i\frac{2}{T}\int_0^T \sin n\omega_0 x \cdot f_T(x) \ dx \Big\} \\ &= \frac{1}{T} \int_0^T \frac{e^{in\omega_0 x} + e^{-in\omega_0 x}}{2} \cdot f_T(x) \ dx - \frac{i}{T} \int_0^T \frac{-i(e^{in\omega_0 x} + e^{-in\omega_0 x})}{2} \cdot f_T(x) \ dx \\ &= \frac{1}{T} \int_0^T \frac{e^{in\omega_0 x} + e^{-in\omega_0 x}}{2} \cdot f_T(x) \ dx - \frac{1}{T} \int_0^T \frac{e^{in\omega_0 x} + e^{-in\omega_0 x}}{2} \cdot f_T(x) \ dx \\ &= \frac{1}{T} \int_0^T e^{-in\omega_0 x} \cdot f_T(x) \ dx \end{split}\label{dn-1}$$
2. 当 $n = 0$ 时： $$\begin{split} d_n|_{n=0} &= \frac{1}{2} a_0 \\ &= \frac{1}{2} \frac{2}{T} \int_0^T f_T(x) \ dx \\ &= \frac{1}{T} \int_0^T e^{-in\omega_0 x} \cdot f_T(x) \ dx \end{split}\label{dn-2}$$
3. 当 $n \lt 0$ 时： $$\begin{split} d_n|_{n\lt 0} &= \frac{1}{2} a_0 \\ &= \frac{1}{2} \frac{2}{T} \int_0^T f_T(x) \ dx \\ &= \frac{1}{T} \int_0^T e^{-in\omega_0 x} \cdot f_T(x) \ dx \end{split}\label{dn-3}$$

$$\begin{split} f_T(x) &= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \Big\{ \frac{1}{T} \int_0^T e^{-i\cdot n\omega_0 x} \cdot f_T(x) \ dx \Big\}\cdot e^{i\cdot n\omega_0 x}。 \end{split}\label{fourier-series-combined}$$

# 傅里叶级数到傅里叶变换

\begin{equation*}\begin{split} f_{T\rightarrow\infty}(x) &= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \Big\{ \frac{1}{T} \int_0^T e^{-in\omega_0 x} \cdot f_T(x) \ dx \Big\} \cdot e^{in\omega_0 x} \\ &= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \Big\{ \frac{\omega_0}{2\pi} \int_0^T e^{-in\omega_0 x} \cdot f(x) \ dx \Big\} \cdot e^{in\omega_0 x} \cdot \\ 用 \ \ \omega = \frac{\omega_0}{2\pi} 替换 \omega_0 \\ &= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \Big\{ \omega \int_0^T e^{-in2\pi\omega x} \cdot f(x) \ dx \Big\} \cdot e^{in2\pi\omega x} \cdot \\ \end{split}\end{equation*}

$$\begin{split} f(x) &= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-i2\pi\omega x} \cdot f(x) \ dx \cdot e^{i2\pi\omega x} \ d\omega \\ \end{split}\label{fourier-transform-1}$$

# 引用

@misc{zhao2020fourier,
title   = {从傅里叶级数到傅里叶变换：详细的数学推导},
author  = {Kai Zhao},
year    = 2020,
note    = {\url{http://kaizhao.net/blog/fourier}}
}